실제 진동 데이터는 일반적으로 시간 도메인에서 명확하지 않은 다양한 주파수로 구성됩니다. 따라서 엔지니어는 주파수 영역의 신호를 나타내기 위해 전력 스펙트럼 밀도(PSD)를 사용하는데, 이는 결과가 지속 시간, 샘플링 레이트 또는 주파수 빈 폭과 무관하기 때문에 더 간단한 푸리에 변환(FFT)에 비해 이점이 있습니다.
파워 스펙트럼 밀도(PSD-Power Spectral Density) 함수란?
시간의 함수인 진동 데이터, 즉 시간 영역 데이터는 진동의 상대적 강도에 대한 정보를 제공할 수 있지만, 시간 영역 데이터는 에너지가 집중되는 주파수에 대한 정보를 제공하지 않습니다. 주파수 영역 정보의 경우, 주파수 성분에 대한 시계열 데이터의 파워 분포를 설명하는 파워 스펙트럼 밀도(PSD)가 필요합니다.
파워 스펙트럼 밀도 함수의 수학적 정의 XPSD(f)는 시간 영역 데이터 x(t)의 이산 푸리에 변환 X(f)를 사용하며, 다음과 같이 정의됩니다.
진동 해석의 경우 PSD는 가속도를 나타내며 PSD의 단위는 g2/Hz이며 g는 g-force를 나타냅니다. 인자 1/2은 계산을 rms 값으로 변환합니다. Δf 항은 측정 시간의 역수이며 1/T와 같습니다.
PSD 함수의 플롯은 진동 에너지가 집중된 주파수를 보여줍니다.
1.PSD 개요
몇 가지 데이터를 생성하는 것부터 시작하겠습니다. 그림 1은 3개 신호의 시간 영역 표시를 보여줍니다. 한 신호는 10Hz에서 50Hz 사이의 주파수 대역에서 백색 잡음입니다. 노이즈에 두 개의 사인 톤이 추가되는데, 하나는 30Hz 사인파이고 두 번째는 80.25Hz 주파수의 사인파입니다. 시간 영역 표시는 모두에게 거의 동일한 피크 외에는 유용한 정보를 많이 제공하지 않습니다!
위 신호를 이용하여 PSD를 계산한 그래프는 다음과 같습니다.
- 시간별로 인덱싱된 시간 도메인 데이터를 입력으로 제공합니다
- 주파수 빈 밴드위스를 선택합니다.
- 그런 다음 결과로 생성되는 파워 스펙트럼 밀도를 플로팅합니다.
그림 2는 Bin 폭이 1Hz인 PSD 플롯을 보여줍니다. 광대역 백색 잡음은 10Hz에서 50Hz 사이의 대부분 평평한 선으로 표시됩니다. 플롯은 30Hz와 80Hz에서 각각 하나씩, 30Hz와 80.25Hz의 사인 톤을 나타내는 두 개의 피크를 보여줍니다. 30Hz 톤은 30Hz 빈의 중앙에 위치하므로 30Hz의 모든 전력이 해당 빈에 캡처됩니다. 80.25 사인 톤이 빈의 중앙에 있지 않으며 일부 전력이 인접한 빈으로 누출됩니다. 결과적으로 80.25Hz에서의 전력 피크는 30Hz에서의 전력보다 낮습니다.
파워 스펙트럼 밀도에 대해 이야기하고 있지만 Y축은 g2/Hz 단위의 가속도 밀도를 정의합니다. 단위에 관계없이 중요한 점은 PSD 곡선이 진동 데이터의 주파수 성분을 명확하게 보여준다는 것입니다. 진동 함량이 높은 주파수를 식별할 수 있습니다. 그런 다음 기계 엔지니어는 높은 가속 밀도를 기계의 기계적 문제와 연관시킬 수 있습니다.
이제 다양한 시간과 빈 너비를 모두 비교하여 PSD를 계산하면 다음과 같습니다.
그림 3은 0.5Hz, 1Hz, 2Hz의 Bin 폭을 사용한 동일한 데이터의 PSD를 보여줍니다. 왼쪽의 첫 번째 열에 있는 플롯은 30 - 50Hz 잡음입니다. 다중 색상 파형은 시간 영역 데이터의 개별 세그먼트에 대한 푸리에 변환입니다. 주황색 선은 전체 데이터 세트의 PSD를 나타냅니다.
두 번째 열 플롯은 30Hz 사인파와 80.25Hz 사인파입니다. 세 번째 열은 잡음과 사인파를 결합합니다. Bin 너비가 넓어질수록 가속도 밀도 피크는 낮아집니다. Bin 너비가 넓을수록 밀도가 낮아지므로, Bin 너비가 증가함에 따라 밀도의 크기가 감소합니다. Bin 너비를 늘리면 스펙트럼 밀도의 평균을 구하는 효과가 있습니다.
일반적인 진동 데이터를 대표하는 노이즈 데이터에서 PSD의 크기가 Bin 너비 또는 지속 시간과 관계없이 상당히 일정하게 유지된다는 것을 알 수 있습니다.
2. PSD 계산하는 방법
다음은 입력에서 파워 스펙트럼 밀도를 계산하는 방법입니다.
- 데이터를 각 세그먼트에 대해 관리 가능한 양의 데이터로 구성된 시간 세그먼트로 나눕니다. 시간 세그먼트가 겹칠 수 있습니다. 그림 4는 겹치는 시간 세그먼트 집합을 보여 줍니다. 고속 푸리에 변환(FFT) 계산에는 적절한 결과를 얻기 위해2N개의 시간 영역 샘플이 필요합니다. 샘플 카운트2N은 FFT가 계산을 수행하는 데 걸리는 시간을 결정합니다. 샘플은 데이터에서 가장 높은 주파수 구성 요소의 주파수의 두 배 이상인 샘플링 속도로 채취해야 합니다. 이 샘플링 레이트는 나이퀴스트 샘플링 정리를 충족하며 주파수 영역의 신호를 정확하게 표현합니다.
- 프로그램은 각 세그먼트가 0 크기로 시작하고 끝나도록 각 시간 세그먼트에 Hanning 윈도우 필터를 적용합니다(그림 5). 시간 영역 세그먼트에 해닝 필터를 적용하면 푸리에 변환의 불연속과 스파이크가 제거됩니다.
- 프로그램은 고속 푸리에 변환(FFT) 기법을 사용하여 각 세그먼트에 대한 푸리에 변환을 계산합니다.
- 푸리에 변환을 제곱하고 계산을 주파수 빈 너비로 정규화하므로 이제 세그먼트의 길이가 더 이상 중요하지 않습니다
- 제곱되고 정규화 된 변환의 평균을 구한 다음 PSD를 갖게됩니다!
먼저 처음 두 단계를 결합하여 신호가 겹치는 세그먼트로 나뉘고 창이 적용된 후의 모습을 보여줍니다. 여기에 인터랙티브 이미지와 스틸 이미지를 모두 포함했습니다.
그런 다음 생성 된 워터폴 플롯을 이용하여 각 세그먼트에 대해 FFT를 계산합니다.
다음으로, 이 모든 값을 제곱하고 빈 너비로 정규화한 다음 최종적으로 그림 6과 같이 평균을 구합니다.
3. PSD 예시
그림 7과 8은 PSD를 분석할 시계열 예시 데이터입니다.
그림 7은 x축, y축, z축의 시간 영역 진동 데이터를 보여줍니다. 다리 위를 지나가는 기차의. 데이터는 10초 동안 100,000개 샘플/초 또는 총 1,000,000개 샘플로 구성되며, 그림 8은 중간 100ms의 데이터 또는 10,000개 샘플을 보여줍니다. 시간 영역에서는 어떤 주파수 범위가 여기되고 있는지 확인하기가 매우 어렵습니다.
이제 시간 영역 데이터를 PSD 계산 함수에 전달하여 가속도의 세 축의 PSD를 결정해 봅시다. 데이터 외에도 1Hz 빈 너비를 지정하겠습니다. 그림 9는 3개의 직교 축의 PSD를 보여주며, 스틸 이미지와 인터랙티브 이미지가 모두 제공됩니다.
y축 PSD를 살펴보면, 브리지의 기본 모드일 수 있는 약 23Hz의 피크를 볼 수 있습니다. 다른 주파수의 2차 피크는 다른 공진이 될 수 있지만 빠르게 매우 넓어지며 단일 주파수로 고립되지 않습니다. 진동 시뮬레이션 프로그램에서 이 PSD 플롯을 사용하면 모형의 복잡성이 높아질 수 있습니다.
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