연속 신호를 이산으로 변환
아날로그 신호는 시간이 지남에 따라 지속적으로 변하며 시간이 지남에 따라 무한히 다양한 진폭 값을 갖습니다. 아날로그 물리적 신호의 가장 좋은 예는 우리의 목소리입니다. 우리가 말하는 것이 무엇이든 음파를 생성하고 이 소리(메시지)는 파동을 통해 이동합니다. 아날로그 신호의 주요 특성은 진폭, 주파수 및 위상입니다.
기존 오실로스코프에서 교류(AC) 라인 전압을 보면 디스플레이에 연속 사인 파형이 표시됩니다. 이 곡선에서 순간 진폭 값은 100, 99.8 또는 99.875볼트일 수 있습니다. 해상도가 다르면 실수 또는 가능한 값이 다릅니다.
오늘날 숫자, 텍스트 및 기호, 그리고 산술 및 논리 컴퓨팅 및 저장 시스템과 같은 디지털 회로 및 시스템을 필요로하는 것처럼 보이는 유사한 개별 데이터의 광범위한 디지털 세계에 살고 있습니다.
디지털 기술은 처음에는 릴레이 및 진공관 논리 회로와 같은 전기 메커니즘으로 시작하여 점차 개별 트랜지스터, 소규모 IC, 그리고 마지막으로 수십억 개의 트랜지스터를 갖춘 대규모 및 고속 마이크로 프로세서가 뒤 따랐습니다. 디지털 방법과 계산 응용 프로그램은 현재 우리 삶의 거의 모든 부분에 사용됩니다. 돈을 추적하고 단어, 소리, 이미지 및 비디오를 전송하는 것과 같습니다.
디지털 신호 및 시스템을 활용하면 기본적으로 다음과 같은 몇 가지 이점이 있습니다.
- 디지털 신호는 분석 및 처리가 매우 쉽습니다
- 디지털 신호는 쉽게 저장하고 편안하게 액세스 할 수 있습니다.
- 디지털 시스템은 일반적으로 아날로그 시스템보다 노이즈가 적고 전력 소비가 적습니다.
아날로그-디지털 변환기에는 다양한 응용 프로그램이 있습니다. 예를 들어, 전송할 아날로그 신호가 A/D 변환기에 의해 송신단에서 디지털화되는 디지털 통신 시스템(예: 휴대폰)에서 사용됩니다. 또한 디지털 컴퓨터로 아날로그 데이터를 분석할 때 필수적인 인터페이스를 형성합니다. 그림 1은 A/D 컨버터의 시스템 다이어그램을 보여줍니다.
그림 1: A/D 컨버터
기본적으로 대부분의 전자 센서(사운드, 이미지 등)는 아날로그 형식입니다. 따라서 A/D 변환기(디지털 처리의 일부)는 모든 디지털 판독 테스트 및 측정 장비에 사용됩니다. 디지털 멀티미터, 디지털 스토리지 오실로스코프 또는 pH 측정기에서도 사용할 수 있습니다.
일반적으로 아날로그 신호를 디지털 형식으로 변환하는 이점을 활용할 것으로 예상하며 대부분 최종 단계에서 신호를 원래 형태(아날로그)로 다시 복구해야 합니다. 주요 프로세스를 A-to-D 변환 또는 디지털화라고 합니다. 이 과정의 반대를 D-to-A 변환이라고 하며, 이는 디지털 정보를 다시 아날로그 형식으로 변환하는 것을 의미합니다. A/D 변환 프로세스는 일반적으로 D/A 변환 프로세스보다 더 복잡합니다.
A/D 변환 방법
A/D 컨버터의 물리적 특성은 전압 범위를 이산 값으로 나눈 다음 각 값을 이진수로 표현하는 것입니다. 아날로그 신호를 디지털 형식으로 변환하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 다양한 시스템 요구 사항을 처리하기 위해 여러 가지 기술이 발전했습니다. 여기에는 플래시, 계단, 연속 근사 및 델타-시그마 형식이 포함됩니다.
펄스 코드 변조 또는 줄여서 PCM이라고 하는 가장 인기 있는 방법 중 하나만 고려할 것입니다. 이 A/D 변환 개념은 간단합니다: 첫째, 들어오는 파형의 전압은 특정 인스턴스에서 측정됩니다. 그런 다음 이러한 측정값은 양자화되고 최종적으로 일부 디지털 단어로 변환됩니다. 그림 2는 PCM 시스템의 제품 구성도를 보여줍니다.
그림 2: PCM 시스템
PCM 이론에 따르면 아날로그 신호를 디지털 형식으로 변환하려면 세 가지 기능 단계가 있습니다.
- 샘플링
- 양자화
- 디지털 인코딩
샘플링
첫 번째 단계는 신호를 연속시간 영역에서 이산시간 영역으로 변환하는 것입니다. 이 과정은 샘플링 기술에 의해 달성됩니다. 샘플러는 전자 스위치와 같은 특정 순간에 일부 진폭 값을 체계적으로 추출합니다. 이는 샘플링이 신호의 x축을 따라 수행됨을 의미합니다.
이 메커니즘은 그림 3에 그래픽으로 표시되어 있습니다.
그림 3: 이상적인 샘플링 시스템 (a) 및 (b) 입력/출력 파형
이상적인 샘플링의 결과는 서로 다른 인스턴스에서 입력 신호 v(t) 진폭 값을 나타내는 진폭 값을 갖는 일련의 임펄스(또는 스파이크)입니다. 그림 3(a)는 아날로그 신호가 매 T초마다 한 번씩(예를 들어 0.5초마다) 전자 스위치에 의해 샘플링되고, 샘플링된 진폭 시퀀스를 초래한다는 것을 보여준다; 이산시간 신호라고 합니다. 이러한 이산 시간 신호는 임의의 진폭 값 (아날로그 신호와 유사)을 가질 수 있지만 특정 시점에서 그림 3 (b)와 같이 다른 경우에는 진폭을 알 수 없습니다. 간단히 말해서, 이러한 이산 시간 신호는 시간적으로는 이산적이지만 진폭은 여전히 연속적입니다.
샘플러 스위치는 또한 신호 값이 순간(무한히 짧은 시간)에 취해지는 이상적인 것으로 가정됩니다. 샘플 사이의 시간 간격은 대부분 일정하게 유지되며, 즉, 샘플링 속도는 일정합니다. 이 조건을 균일 샘플링이라고 합니다.
샘플링 프로세스에서 가장 중요한 매개변수는 샘플링 기간 T와 샘플링 빈도 또는 샘플링 속도이며, 이는 다음과 같이 정의됩니다. fs. 샘플링 주파수는 '초당 샘플 수' 또는 '헤르츠' 단위로 제공됩니다.
나이퀴스트-섀넌 샘플링 정리(Nyquist-Shannon sampling theorem)는 이러한 샘플만으로 원래 신호를 다시 완전히 복구(또는 재구성)할 수 있도록 연속시간 신호를 균일하게 샘플링해야 하는 최소 샘플링 속도를 지정합니다. 이 비율을 나이퀴스트 비율이라고 합니다.
연속시간 신호에 f보다 높은 주파수 성분이 포함되어 있지 않은 경우.max (Hz)는 도 4(a)에 표현된 바와 같이, f 비율로 채취한 균일한 샘플에 의해 완전히 결정될 수 있다s (초당 샘플 수)인 반면, 수학식 1에 설명되어 있다. 표기법을 단순화하기 위해 fmax = W를 정의합니다.
방정식 1: 샘플링 주파수 조건
방정식 2: 샘플링 주기 조건
예를 들어, 대역폭이 최대 20kHz인 신호(예: 사운드 신호)를 디지털화해야 하는 경우 최소 40kHz의 샘플 속도가 필요합니다.
샘플링 정리에 대한 더 나은 이해는 주파수 영역 관점에서 샘플링 프로세스를 살펴봄으로써 얻을 수 있습니다. 기본적으로 샘플링 프로세스는 시간 영역에서 원본(아날로그) 신호를 자르는 것과 동일합니다. 푸리에 변환 이론을 통해 이 초핑(또는 스위칭) 기능이 신호 스펙트럼에 많은 수의 고주파 성분을 도입한다는 것을 알 수 있습니다.
샘플링에 의해 생성된 고주파 성분은 매우 규칙적인 방식으로 나타납니다. 사실, 원래 신호 스펙트럼의 모든 주파수 성분은 전체 주파수 축에서 주기적으로 반복됩니다. 스펙트럼은 수학적으로도 음의 주파수로 확장됩니다! 이 복제가 발생하는 기간은 샘플링 속도 fs. 샘플링 후 대역 제한 신호에 대한 신호 스펙트럼의 복제는 그림 4(b)에 나와 있습니다.
그림 4: (a) 원래 아날로그 신호의 스펙트럼 (b) 샘플링된 신호의 스펙트럼
나이퀴스트-섀넌 샘플링 정리는 샘플링 주파수가 스펙트럼의 가장 높은 주파수의 최소 2배(fs = 2W), 복제된 스펙트럼이 중첩되지 않고, 왜곡이 발생하지 않는다. 따라서, 원래의 스펙트럼은 적절한 주파수 필터링에 의해 다시 충실하게 복구될 수 있다.
샘플링 주파수가 가장 높은 주파수 성분의 두 배보다 작은 경우의 효과를 고려하십시오(fs < 2W). 그림 5에서 볼 수 있듯이 복제된 스펙트럼은 서로 겹쳐져 원래 스펙트럼에 왜곡을 일으킵니다. 이러한 상황에서는 원래의 스펙트럼을 충실하게 회복할 수 없습니다. 이 효과를 앨리어싱이라고 합니다.
그림 5: 주파수의 앨리어싱 왜곡
시간 영역에서의 앨리어싱 효과는 그림 3-1에 그래픽으로 나타나 있습니다. 일반적으로 나이퀴스트율보다 샘플링 속도가 큰 시퀀스에서 샘플 포인트들을 일부 허수 라인으로 연결하면 원래의 연속 파형과 유사한 모양을 만들게 되어 있습니다. 이 경우는 그림 6(a)에 나와 있습니다. 그러나 fs < 2W의 경우 샘플 포인트의 수가 충분하지 않아 원래 파형을 복원할 수 없습니다. 따라서 그림 6(b)에서 원래 파형이 완전히 사라졌으며 이것이 앨리어싱의 실제 의미입니다.
그림 6: 시간에 따른 앨리어싱 왜곡
앨리어싱 효과를 방지하려면 입력 신호가 이미 주파수 대역이 제한되어 있어야 합니다. 즉, A/D 변환이 발생하기 전에 저역 통과 필터(앤티앨리어스 필터라고도 함)를 사용해야 합니다.
저역 통과 필터(LPF)는 선택한 차단 주파수(fc) 입력 아날로그 신호에 존재하는 고주파 성분을 제거하여 샘플러에 대한 입력 신호에 원치 않는 주파수 성분이 없도록 합니다. 이상적인 필터는 통과대역이 평탄하고 컷오프 동작이 뚜렷합니다.
이상적인 LPF의 블록 다이어그램은 그림 7 (a)에 나와 있으며 주파수 영역에서의 전달 함수는 그림 7 (b)에 나와 있습니다.
그림 7: (a) 이상적인 LPF의 제품 구성도 (b) 전달 함수
이상적인 저역 통과 필터를 포함한 샘플링 시스템은 그림 8 (a)와 같습니다. 아날로그 신호의 스펙트럼은 그림 8 (b)와 같이 fs/2보다 큰 일부 주파수 성분을 가지고 있다고 가정합니다. 이 필터의 차단 주파수를 샘플링 주파수의 절반(fc = fs/2)으로 정의하면 더 높은 주파수와 작은 크기를 가진 스펙트럼의 부분이 필터에 의해 제거됩니다.
따라서 저역 통과 필터링 후 신호의 스펙트럼은 그림 8 (c)와 같습니다. 대부분은 생략된 주파수 성분에 중요한 정보가 없고 마지막으로 남은 스펙트럼에 의해 신호가 다시 복원될 수 있습니다.
그림 8: (a) 이상적인 LPF를 포함하는 샘플링 시스템 (b) 입력 신호의 스펙트럼 (c) 필터링 후의 신호 스펙트럼 (d) 샘플링 후 필터링된 신호의 스펙트럼
그림 8(d)에 묘사된 바와 같이, 이산적으로 샘플링된 신호의 결과적인 복제 스펙트럼[Xd(f)] 서로 겹치지 않습니다. 따라서 앨리어싱이 발생하지 않습니다.
양자화
양자화 단계(그림 9)는 샘플 값을 L개의 양자 수준 집합에서 가장 가까운 이산 진폭 값으로 반올림합니다. 반올림한 정수에서 원래 분수의 정확한 값을 다시 결정할 수 없기 때문에 이 과정은 손실(가역성 없음)됩니다.
그림 9: L 레벨 양자화 단계
뿐만 아니라 샘플링 프로세스는 x축(시간)을 따라 수행되고 양자화 프로세스는 y축(진폭)을 따라 수행됩니다. 양자화 수준 사이의 간격을 양자화 너비 또는 q로 표시되는 양자화 단계 크기라고 합니다. 이러한 수준 사이의 간격이 진폭 범위 전체에서 동일하면 이를 균일 양자화기라고 합니다. 선형 양자화기는 입력 값과 출력 값 간에 균일한 매핑을 수행합니다.
양자화 단계에서 수행되는 작업은 다음과 같습니다.
시스템은 입력 값 v(t)가 Vmin과 V 사이의 진폭을 갖는다고 가정합니다. 그러면 샘플링 후 입력의 경우 식 3에서 설명하는 것과 같은 변수 v(kT)를 갖습니다.
방정식 3: 진폭 범위
시스템은 진폭의 범위를 L 양자화 레벨로 나누고, 각각의 크기는 방정식 4에 설명된 바와 같이 q이다.
방정식 4: 양자화 폭의 값
이진 PCM 시스템의 양자 수준 수는 수식 2에서 설명한 대로 5의 거듭제곱과 같아야 합니다.
방정식 5: 양자 수준의 수
양자화의 간단한 예는 방정식 6에 설명된 대로 분수를 가장 가까운 정수로 반올림하는 메커니즘입니다.
방정식 6: 분수를 가장 가까운 정수로 반올림하는 양자화
그런 다음 양자화 된 결과는 수학식 7에서 나옵니다.
방정식 7: 양자 수준 계산
그림 10은 그림 3의 예제 파형과 관련된 일반적인 균일 양자화기의 특성 기능을 보여줍니다.
그림 10: 균일한 양자화기의 특성 기능
이 그래프에서 정수 값이 있는 동일한 거리의 일부 새 수준은 출력 결과에 대한 양자화된 수준으로 정의됩니다. 이 경우 8볼트와 0볼트 사이의 1단계 양자화로 인해 수량 q는 진폭의 1.8볼트에 해당하는 (0/125)과 같습니다.
그림 6의 v(kT) 샘플에 방정식 3을 적용하면 표 1에서 계산된 양자화 데이터를 수집할 수 있습니다.
표 1: 예제의 양자화 데이터
표 1의 출력 결과는 그림 11에 표시되어 있습니다.
그림 11: 3개 파형(연속, 이산 및 양자화)의 플롯
그림 11은 입력 샘플 [v(KT)]의 진폭이 출력에서 진폭의 새로운 양자화 레벨에 매핑되는 방법을 보여줍니다. 또한 첫 번째 연속 파형 v(t)가 새로운 이산 파형 [vq(kT)]입니다.
양자화된 샘플의 모양이 vq(kT) (파란색 곡선)은 원래 연속 파형 v(t)에 대한 이산 근사치일 수 있지만 양자화 수준 수를 16 또는 32 등으로 늘리는 등의 방법으로 더 나을 수도 있습니다.