커브 피팅의 이론 및 랩뷰 커브 피팅 구현방법

테스트 및 측정 과정에서 디지털 측정 장비의 사용이 증가함에 따라 대량의 데이터 수집이 더 쉬워졌습니다. 그러나 수집된 데이터에서 유용한 정보를 처리하고 추출하는 방법은 어려운 과제가 됩니다.

테스트 및 측정 프로세스 중에 관측값과 독립 변수 간의 수학적 관계(예: 온도 측정, 관찰 가능한 값, 측정 오류, 부정확한 측정 장치로 인해 발생하는 독립 변수)를 자주 볼 수 있습니다. 수학적 관계를 찾는 한 가지 방법은 관측값에 맞는 적절한 곡선을 정의하고 곡선 함수를 사용하여 변수 간의 관계를 분석하는 곡선 피팅입니다.

 

커브 피팅을 사용하여 다음 작업을 수행할 수 있습니다.

• 노이즈 감소 및 원활한 데이터
• 변수 간의 수학적 관계 또는 함수를 찾고 해당 함수를 사용하여 오류 보상, 속도 및 가속도 계산 등과 같은 추가 데이터 처리를 수행합니다
• 데이터 샘플 간의 변수 값 추정
• 데이터 표본 범위를 벗어난 변수 값 추정

 

LabVIEW의 커브 피팅

커브 피팅이란?

커브 피팅의 목적은 함수 클래스 Φ에서 데이터(x나는, y나는) 여기서 i=0, 1, 2,..., n–1입니다. 함수 f(x)는 가중치 W 하의 잔차를 최소화합니다. 잔차는 데이터 샘플과 f(x) 사이의 거리입니다. 잔차가 작을수록 더 잘 맞습니다. 기하학에서 곡선 피팅은 데이터(x나는, y나는) 여기서 i=0, 1, 2,..., n–1입니다.

 

LabVIEW에서는 다음 VI를 사용하여 커브 피팅 함수를 계산할 수 있습니다.

• 리니어 핏 VI
• 지수 피팅 VI
• 파워 핏 VI
• 가우시안 피크 핏 VI
• 로그 피팅 VI

이 VI는 데이터 세트에 대해 다양한 유형의 곡선 피팅 모델을 생성합니다.

다음 그래프는 LabVIEW로 생성할 수 있는 다양한 유형의 피팅 모델을 보여줍니다.

그림 1. LabVIEW의 커브 피팅 모델

 

데이터 세트를 피팅하기 전에 사용할 피팅 모델을 결정해야 합니다. 예를 들어, 선형 모델을 사용하여 로그 데이터를 피팅하는 등 부적절한 선택은 잘못된 피팅 결과 또는 데이터 세트의 특성을 부정확하게 결정하는 결과를 초래합니다. 따라서 먼저 데이터 분포 형상에 따라 적절한 피팅 모델을 선택한 다음 결과에 따라 모델이 적합한지 판단해야 합니다.

 

LabVIEW의 모든 피팅 모델 VI에는 가중치 입력이 있습니다. 가중치 입력 기본값은 1이며, 이는 모든 데이터 샘플이 피팅 결과에 동일한 영향을 미친다는 것을 의미합니다. 경우에 따라 노이즈와 같은 외부 요인으로 인해 데이터 집합에 이상치가 존재합니다. 데이터 표본과 동일한 가중치에서 특이치를 계산하면 적합치 결과에 부정적인 영향을 미칠 위험이 있습니다. 따라서 이상치의 가중치를 조정하고 가중치를 0으로 설정하여 부정적인 영향을 제거할 수 있습니다.

 

커브 피팅 방법

다양한 피팅 방법은 입력 데이터를 평가하여 곡선 피팅 모델 파라미터를 찾을 수 있습니다. 각 방법에는 적합 곡선을 찾을 때 적합 잔차를 평가하기 위한 고유한 기준이 있습니다. 각 방법의 기준을 이해하면 데이터 세트에 적용하고 곡선에 적합하기에 가장 적합한 방법을 선택할 수 있습니다. LabVIEW에서 최소 제곱 (LS), 최소 절대 잔차 (LAR) 또는 이중 제곱 피팅 방법을 선형 피팅, 지수 피팅, 파워 피팅, 가우스 피크 피팅 또는 로그 피팅 VI에 적용하여 함수 f(x)를 찾을 수 있습니다.

LS 방법은 다음 공식에 따라 잔차를 최소화하여 f(x)를 구합니다.

  

여기서 n은 데이터 샘플의 수입니다.

w나는 는 i입니다.일 데이터 샘플에 대한 가중치 배열의 요소

f(x나는)는 i입니다.일 적합된 모형의 y-값으로 구성된 배열의 요소

y나는 는 i입니다.일 데이터 세트의 요소(x나는, y나는)

LAR 방법은 다음 공식에 따라 잔차를 최소화하여 f(x)를 구합니다.

Bisquare 방법은 다음 순서도와 같이 반복 프로세스를 사용하여 f(x)를 구하고 LS 방법과 동일한 공식을 사용하여 잔차를 계산합니다. Bisquare 메서드는 반복 k에서 시작하는 데이터를 계산합니다.

그림 2. Bisquare Method 흐름도

 

LS, LAR, Bisquare 방법은 f(x)를 계산하는 방식이 다르기 때문에 데이터 세트에 따라 곡선 피팅 방법을 선택하려고 합니다. 예를 들어, LAR 피팅 방법과 Bisquare 피팅 방법은 견고한 피팅 방법입니다. 데이터 세트에 특이치가 있는 경우 이러한 방법을 사용합니다. 다음 섹션에서는 LS, LAR 및 Bisquare 계산 방법에 대해 자세히 설명합니다.

 

LS 방식

최소 제곱법은 선형 방정식 해로 시작합니다.

Ax = b

A는 행렬이고 x와 b는 벡터입니다. Ax–b는 방정식의 오차를 나타냅니다.

다음 방정식은 이전 방정식의 오차 제곱을 나타냅니다.

제곱 오차 E(x)를 최소화하려면 이전 함수의 도함수를 계산하고 결과를 0으로 설정하십시오.

알고리즘 흐름에서 계산 프로세스가 반복되지 않기 때문에 계산 프로세스의 효율성을 확인할 수 있습니다. 효율성이 요구되는 응용 프로그램은 이 계산 프로세스를 사용할 수 있습니다.

LS 방법은 제곱 오차를 최소화하고 가우스 분포 잡음이 있는 데이터를 처리하여 x를 계산합니다. 잡음이 가우스 분포가 아닌 경우, 예를 들어 데이터에 이상치가 포함된 경우 LS 방법은 적합하지 않습니다. LAR 또는 Bisquare 방법과 같은 다른 방법을 사용하여 비가우스 분포 잡음이 포함된 데이터를 처리할 수 있습니다.

 

LAR 메서드

LAR 방법은 다음 공식에 따라 잔류를 최소화합니다.

공식에서 LAR 방법이 가중치가 변경되는 LS 방법임을 알 수 있습니다. 데이터 표본이 f(x)에서 멀리 떨어져 있는 경우, 이 데이터 표본이 피팅 결과에 미치는 부정적인 영향이 적도록 각 반복 후에 가중치가 상대적으로 낮게 설정됩니다. 따라서 LAR 방법은 특이치가 있는 데이터에 적합합니다.

 

Bisquare 메서드

LAR 방법과 마찬가지로 Bisquare 방법도 반복을 사용하여 데이터 샘플의 가중치를 수정합니다. 대부분의 경우 Bisquare 방법은 LAR 방법보다 특이치에 덜 민감합니다.

 

커브 피팅 방법 비교

세 가지 커브피팅 방법을 비교하면 LAR 방법과 Bisquare 방법이 반복 프로세스를 사용하여 각 데이터 표본의 가중치를 조정함으로써 특이치의 영향을 줄입니다. 안타깝게도 각 데이터 샘플의 가중치를 조정하면 LAR 및 Bisquare 방법의 효율성도 감소합니다.

세 가지 방법을 더 잘 비교하려면 다음 실험을 검토하십시오. 동일한 데이터 세트를 피팅하려면 잡음이 있는 50개의 데이터 표본을 포함하는 선형 모형의 세 가지 방법을 사용합니다. 다음 표에서는 각 메서드의 계산 시간을 보여 줍니다.

표 1. 세 가지 피팅 방법의 처리 시간

 

피팅 방법	LS	LAR	Bisquare
시간(μs)	3.5	30	60

앞의 표에서 볼 수 있듯이 LS 방법이 가장 높은 효율을 보입니다.

다음 그림은 세 가지 방법에 대한 이상치의 영향을 보여줍니다.

그림 3. 세 가지 피팅 방법 비교

 

적합 곡선에서 멀리 떨어진 데이터 표본은 특이치입니다. 이전 그림에서는 (2, 17), (20, 29) 및 (21, 31)의 데이터 표본을 특이치로 간주할 수 있습니다. 결과는 특이치가 LAR 및 Bisquare 방법보다 LS 방법에 더 큰 영향을 미친다는 것을 나타냅니다.

이전 실험에서 적절한 피팅 방법을 선택할 때 데이터 품질과 계산 효율성을 모두 고려해야 한다는 것을 알 수 있습니다.

 

LabVIEW 커브 피팅 모델

선형 피팅, 지수 피팅, 가우스 피크 피팅, 로그 피팅 및 파워 피팅 VI 외에도 다음 VI를 사용하여 곡선 피팅 기능을 계산할 수 있습니다.

• 일반 다항식 VI
• 일반 리니어 핏 VI
• 큐빅 스플라인 핏 VI
• 비선형 커브 핏 VI

일반 다항식 피팅

일반 다항식 적합 VI는 데이터 세트를 일반 형식의 다항식 함수에 맞춥니다.

 

다음 그림은 데이터 세트의 실수 0을 찾기 위해 3차 다항식을 사용하는 일반 다항식 곡선 피팅을 보여줍니다. 

그림 4. 일반 다항식 모델

 

이 VI는 다음 방정식을 사용하여 평균 제곱 오차 (MSE)를 계산합니다.

일반 다항식 맞춤 VI를 사용할 때 먼저 다항식 순서 입력을 설정해야 합니다. 다항식 순서가 높으면 더 나은 피팅 결과가 보장되지 않으며 진동이 발생할 수 있습니다. 2차 다항식 이하는 대부분의 응용 분야를 만족시킬 수 있습니다. 

 

이 VI에는 계수 제약 조건 입력이 있습니다. 다항식 계수의 정확한 값을 알고 있는 경우 이 입력을 설정할 수 있습니다. 이 입력을 설정하면 VI는 실제 값에 가까운 결과를 계산합니다.

 

일반 리니어 핏

General Linear Fit VI는 다음 방정식에 따라 데이터 세트를 피팅합니다.

 

여기서 y는 계수 a의 선형 조합입니다.0, ᅡ1, ᅡ2, ..., ak-1 k는 계수의 수입니다.

다음 방정식은 계수의 선형 조합 개념을 확장하여 승수가1 는 x의 일부 함수입니다.

여기서 ω는 각 주파수입니다.

 

앞의 각 방정식에서, y는 계수 a의 선형 조합이다. 일반 선형 피팅 VI의 경우, y는 여러 계수의 선형 조합이 될 수도 있습니다. 각 계수에는 x의 일부 함수의 승수가 있습니다. 따라서 General Linear Fit VI를 사용하여 함수 모델의 계수를 계산하고 계수의 선형 조합으로 표현할 수 있습니다.

 

앞의 각 방정식에서, y는 계수 a의 선형 함수일 수 있다

 

관측값 행렬 만들기

일반 선형 피팅 VI를 사용하는 경우 관측 행렬 H를 생성해야 합니다. 예를 들어, 다음 방정식은 변환기의 데이터를 사용하여 모델을 정의합니다.

다음 표는 계수에 대한 승수를 보여줍니다. .

계수	Multiplier
ao	1
a1	sine(ωx)
a2	cos(ωx)
a3	x2

관측값 행렬 H를 작성하기 위해 H의 각 열 값은 각 x 값 x에서 계산되는 독립 함수 또는 승수와 같습니다. 다음 방정식은 이전 방정식을 사용하여 100개의 x 값을 포함하는 데이터 세트에 대한 관측값 행렬 H를 정의합니다.

데이터 세트에 n개의 데이터 점과 계수에 대한 k개의 계수가 포함된 경우0, ᅡ1, ..., ak– 1이면 H는 n × k 관측값 행렬입니다. 따라서 H의 행 개수는 데이터 요소 개수 n과 같습니다. H의 열 개수는 계수 개수 k와 같습니다.

계수를 구하기 위해,0, ᅡ1, ..., ak – 1에서 General Linear Fit VI는 다음 선형 방정식을 풉니다.

 

큐빅 스플라인 핏

스플라인은 보간과 평활화를 위한 조각별 다항식 함수입니다. 곡선 피팅에서 스플라인은 복잡한 형상에 가깝습니다.

Cubic Spline Fit VI는 데이터 세트(x나는, y나는)을 사용하여 다음 기능을 최소화합니다.

 

 

균형 매개변수 입력 p가 0이면 1차 스플라인 모델은 선형 모델과 동일합니다. 균형 파라미터 입력 p가 0인 경우 피팅 방법은 1차 스플라인 보간과 동일합니다. 적합 곡선이 관측치에 가깝고 매끄럽게 만들기 위해 p가 [0, 1] 범위에 속해야 합니다. p가 1.0에 가까울수록 적합된 곡선이 더 부드러워집니다. p가 1.0에 가까울수록 적합 곡선이 관측치에 더 가깝습니다. 다음 그림은 p가 다른 값을 취하는 경우의 피팅 결과를 보여줍니다.

그림 5. 큐빅 스플라인 모델

 

앞의 그림에서 p가 1.0일 때 적합 곡선이 관측치 데이터에 가장 가깝다는 것을 알 수 있습니다. p가 0.0이면 적합 곡선이 가장 매끄럽지만 곡선은 어떤 데이터 점에서도 절편하지 않습니다.

비선형 커브 핏(Nonlinear Curve Fit)

비선형 곡선 맞춤 VI는 다음 방정식에 따라 비선형 Levenberg-Marquardt 방법을 사용하여 데이터를 곡선에 피팅합니다.

 

비선형 Levenberg-Marquardt 방법은 가장 일반적인 곡선 피팅 방법이며 y가 a0, a1, a2, …, ak. 비선형 Levenberg-Marquardt 방법을 사용하여 선형 또는 비선형 곡선을 피팅할 수 있습니다. 그러나 이 방법의 가장 일반적인 적용은 비선형 곡선을 맞추는 것인데, 이는 일반적인 선형 맞춤 방법이 선형 곡선 맞춤에 더 좋기 때문입니다.

 

또한 LabVIEW는 제약 조건이 있는 비선형 곡선에 맞추기 위해 Constrained Nonlinear Curve Fit VI를 제공합니다. 데이터 세트에 대한 사전 지식을 바탕으로 각 피팅 파라미터의 상한과 하한을 설정하여 더 나은 피팅 결과를 얻을 수 있습니다.

다음 그림은 데이터 세트에서 비선형 곡선 맞춤 VI를 사용하는 방법을 보여줍니다. 데이터 세트의 비선형 특성은 Levenberg-Marquardt 방법을 적용하는 데 적합합니다.

그림 6. 비선형 곡선 모델

 

전처리

이상값 제거 VI는 범위를 벗어나는 데이터 포인트를 제거하여 데이터 세트를 전처리합니다. VI는 목적 함수에 대한 이상치의 영향을 제거합니다. 다음 그림은 이상치 제거 VI를 적용하기 전과 후의 데이터 세트를 보여줍니다.

그림 7. 이상값 제거 VI

 

이전 그림에서 왼쪽의 그래프는 특이치가 있는 원래 데이터 세트를 보여줍니다. 오른쪽 그래프는 이상값을 제거한 후 전처리된 데이터를 보여줍니다.

지정한 배열 인덱스 내에 있는 이상값을 제거할 수도 있습니다.

일부 데이터 세트는 더 높은 수준의 전처리를 요구합니다. 중앙값 필터 전처리 도구는 이상값을 제거하고 데이터를 평활화하는 데 유용합니다.

 

후처리

LabVIEW는 곡선 피팅을 수행한 후 데이터 결과를 평가하기 위해 VI를 제공합니다. 이 VI는 곡선 피팅 결과의 정확도를 결정하고 일련의 측정에서 신뢰도 및 예측 구간을 계산할 수 있습니다.

핏의 장점

적합도 VI는 피팅 결과를 평가하고 제곱합 오차 (SSE), R-제곱 오차 (R2) 및 피팅 결과를 기반으로 한 평균 제곱근 오차(RMSE)입니다. 이 세 가지 통계 모수는 적합된 모형이 원래 데이터 세트와 얼마나 잘 일치하는지를 설명합니다.

 

다음 방정식은 각각 SSE와 RMSE를 설명합니다.

여기서 DOF는 자유도입니다.

SSE와 RMSE는 랜덤 요인의 영향을 반영하며 데이터 세트와 적합 모형 간의 차이를 보여줍니다.

다음 방정식은 R-제곱을 설명합니다.

 

여기서 SST는 다음 방정식에 따른 제곱의 합계입니다.

R-제곱은 피팅 수준을 정량적으로 표현한 것입니다. R-제곱이 높으면 피팅 모델과 데이터 집합 간의 피팅이 더 잘 맞는다는 의미입니다. R-제곱은 SSE와 SST의 소수 표현이므로 값은 0과 1 사이여야 합니다.

 

0 ≤ R-square ≤ 1

 

데이터 표본이 적합 곡선에 정확히 적합되면 SSE는 0이고 R-square은 1과 같습니다. 일부 데이터 표본이 적합 곡선 밖에 있는 경우 SSE는 0보다 크고 R-square은 1보다 작습니다. R-제곱이 정규화되기 때문에 R-제곱이 1에 가까울수록 피팅 수준이 높아지고 곡선이 덜 매끄럽습니다.

다음 그림은 R-제곱 결과가 서로 다른 데이터 집합의 적합 곡선을 보여줍니다.

그림 8. 다른 R-제곱 값으로 결과 피팅

 

앞의 그림에서 R-square이 0.99인 적합 곡선이 데이터 세트에 더 가깝게 적합되지만 R-square이 0.97인 적합 곡선보다 덜 매끄럽다는 것을 알 수 있습니다.

 

신뢰 구간 및 예측 구간

실제 테스트 및 측정 프로세스에서는 일련의 실험에서 각 실험의 데이터 샘플이 측정 오류로 인해 다르기 때문에 피팅 결과도 다릅니다. 예를 들어, 측정 오차가 모든 실험에서 정규 분포를 따르지 않고 상관 관계가 없는 경우 신뢰 구간을 사용하여 적합 모수의 불확실성을 추정할 수 있습니다. 예측 구간을 사용하여 데이터 집합의 종속 값에 대한 불확실성을 추정할 수도 있습니다.

 

예를 들어, 샘플 세트(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn-1, yn-1) 선형 피팅 함수 y = a0x + ᅡ1. 각 데이터 샘플에 대해 , 측정 오차

의 분산은 가중치로 지정됩니다.

함수 형식 x를 사용할 수 있습니다.

 

LS 방법을 다음 식에 따라 데이터를 피팅한다.

여기서 = [a0 a1]T

                 

                 

y = [ y0 y1 ... yN-1]T

 

파라미터의 공분산 행렬을 다시 작성할 수 있습니다.

 

다음 방정식과 같습니다.

여기서 J는 Jacobean 행렬입니다.

m은 매개변수의 수입니다.

n은 데이터 샘플의 수입니다.

 

앞의 방정식에서 모수의 개수 m은 2와 같습니다. 이 i일 C의 대각선 요소, C2 세는 매개변수의 분산입니다.

 

.

신뢰 구간은 특정 신뢰 수준에서 

피팅 모수의 불확실성을 추정합니다. 예를 들어, 95% 신뢰 구간은 피팅 모수의 실제 값이 신뢰 구간 내에 포함될 확률이 95%라는 것을 의미합니다. i의 신뢰 구간일 피팅 매개변수는 다음과 같습니다.

여기서 

 는 확률 

 에서 n-m 자유도에 대한 스튜던트 t 역 누적 분포 함수이고 

 는 매개변수의 표준 편차입니다. 

.

또한 특정 신뢰 수준에서 각 데이터 표본의 신뢰 구간을 추정할 수 있습니다

예를 들어, 표본의 95% 신뢰 구간은 표본의 실제 값이 신뢰 구간 내에 포함될 확률이 95%라는 것을 의미합니다.

i의 신뢰 구간일 데이터 샘플은 다음과 같습니다.

어디 진단나는(A)는 i를 나타낸다일 행렬 A의 대각선 요소. 상기 식에서, 행렬(JCJ)T 행렬 A를 나타냅니다.

예측 구간은 특정 신뢰 레벨

에서 후속 측정 실험에서 데이터 샘플의 불확실성을 추정합니다. 예를 들어 예측 구간이 95%라는 것은 데이터 샘플이 다음 측정 실험에서 예측 구간 내에 포함될 확률이 95%임을 의미합니다. 예측 구간은 실제 값의 불확실성뿐만 아니라 다음 측정의 불확실성도 반영하기 때문에 예측 구간은 신뢰 구간보다 넓습니다. i의 예측 구간일 샘플은 다음과 같습니다.

L

abVIEW는 선형 피팅, 지수 피팅, 가우스 피크 피팅, 로그 피팅 및 파워 피팅 모델과 같은 일반적인 곡선 피팅 모델의 신뢰 구간 및 예측 구간을 계산하기 위한 VI를 제공합니다. 이 VI는 설정한 신뢰 수준에 따라 신뢰 구간 또는 예측 구간의 상한과 하한을 계산합니다.

 

다음 그림에서는 동일한 데이터 집합에 대한 신뢰 구간 그래프와 예측 구간 그래프의 예를 각각 보여 줍니다.

그림 9. 신뢰 구간 및 예측 구간

 

신뢰 구간 그래프에서 신뢰 구간이 좁다는 것을 알 수 있습니다. 신뢰 구간이 작으면 실제 곡선에 가까운 적합 곡선을 나타냅니다. 예측 구간 그래프에서 다음 측정 실험의 각 데이터 표본이 예측 구간 내에 포함될 확률이 95%라는 결론을 내릴 수 있습니다.

 

 

적용사례

오류 보정

측정 및 데이터 수집 장비의 수명이 늘어남에 따라 데이터 정밀도에 영향을 미치는 측정 오류도 증가합니다. 정확한 측정 결과를 보장하기 위해 곡선 피팅 방법을 사용하여 데이터 오류를 보상하는 오류 함수를 찾을 수 있습니다.

예를 들어, 온도계가 -50ºC와 90ºC 사이의 온도를 측정하는 실험을 조사합니다. T를 가정합니다.1 는 측정된 온도, T2 는 주변 온도이고, Te 는 측정 오차이며, 여기서 T는e 는 T입니다.1 마이너스 T2. 측정 가능한 -50ºC 및 90ºC 범위 내에서 다양한 온도를 측정하면 다음 데이터 테이블을 얻을 수 있습니다.

 

표 2. 주변 온도 및 측정된 온도 판독값

주위 온도	측정된 온도	주위 온도	측정된 온도	주위 온도	측정된 온도
-43.1377	-42.9375	0.769446	0.5625	45.68797	45.5625
-39.3466	-39.25	5.831063	5.625	50.56738	50.5
-34.2368	-34.125	10.84934	10.625	55.58933	55.5625
-29.0969	-29.0625	15.79473	15.5625	60.51409	60.5625
-24.1398	-24.125	20.79082	20.5625	65.35461	65.4375
-19.2454	-19.3125	25.70361	25.5	70.54241	70.6875
-14.0779	-14.1875	30.74484	30.5625	75.40949	75.625
-9.10834	-9.25	35.60317	35.4375	80.41012	80.75
-4.08784	-4.25	40.57861	40.4375	85.26303	85.6875

 

일반 다항식 피팅 VI를 사용하여 다음 블록 다이어그램을 생성하여 보정된 측정 에러를 찾을 수 있습니다.

그림 10. 일반 다항식 피팅 VI를 사용한 오류 함수 VI의 블록 다이어그램

 

다음 프론트 패널은 그림 10의 VI를 사용한 실험 결과를 보여줍니다.

그림 11. 일반 다항식 맞춤 VI를 사용하여 오차 곡선 맞추기

 

이전 그림은 원래 측정 오차 데이터 세트, 데이터 세트에 대한 적합 곡선 및 보정된 측정 오차를 보여줍니다. 먼저 데이터 세트에 적합 곡선을 정의한 후, VI는 측정 에러 데이터의 피팅 곡선을 사용하여 원래 측정 에러를 보상합니다.

보정된 오차의 그래프에서 곡선 피팅을 사용하면 측정 오차를 원래 오차 값의 약 1/10로 줄여 측정 기기의 결과를 향상시킨다는 것을 알 수 있습니다.

 

베이스라인 방황 제거

신호 수집 중에 신호가 저주파 노이즈와 혼합되어 베이스라인 방황이 발생하는 경우가 있습니다. 베이스라인 방황은 신호 품질에 영향을 미치므로 후속 프로세스에 영향을 미칩니다. 베이스라인 방랑을 제거하기 위해 곡선 피팅을 사용하여 원래 신호에서 신호 추세를 구하고 추출할 수 있습니다.

다음 그림에서 볼 수 있듯이 인간의 호흡을 측정하는 ECG 신호에서 기준선 방황을 찾을 수 있습니다. 일반 다항식 피팅 VI를 사용하여 신호 추세를 얻은 다음 원래 신호에서 기준선 방황을 찾아 제거하여 신호의 추세를 제거할 수 있습니다. 나머지 신호는 뺀 신호입니다.

그림 12. 일반 다항식 피팅 VI를 사용하여 베이스라인 방랑 제거

이전 그래프에서 일반 다항식 피팅 VI를 사용하면 베이스라인 방황이 억제된다는 것을 알 수 있습니다. 이 예제에서는 곡선 피팅 방법을 사용하여 베이스라인 방랑을 제거하는 것이 웨이블릿 분석과 같은 다른 방법을 사용하는 것보다 빠르고 간단합니다.

 

가장자리 추출

디지털 이미지 처리에서는 물체의 모양을 결정한 다음 모양의 가장자리를 감지하고 추출해야 하는 경우가 많습니다. 이 프로세스를 가장자리 추출이라고 합니다. 열악한 조명 및 과다 노출과 같은 열악한 조건으로 인해 가장자리가 불완전하거나 흐려질 수 있습니다. 객체의 모서리가 규칙적인 곡선인 경우 곡선 맞춤 방법은 초기 모서리를 처리하는 데 유용합니다.

객체의 가장자리를 추출하려면 먼저 유역 알고리즘을 사용할 수 있습니다. 이 알고리즘은 객체 이미지를 배경 이미지와 분리합니다. 그런 다음 형태학적 알고리즘을 사용하여 누락된 픽셀을 채우고 노이즈 픽셀을 필터링할 수 있습니다. 물체의 형상을 구한 후 라플라시안 또는 라플라스 연산자를 사용하여 초기 모서리를 구합니다. 다음 그림은 물체의 일부에 물리적 장애물이 있는 타원형 물체의 이미지에서 가장자리 추출 프로세스를 보여줍니다.

 

그림 13. 가장자리 추출 과정

 

이전 그림에서 볼 수 있듯이 추출된 가장자리는 조명 조건과 다른 물체의 방해로 인해 매끄럽거나 완전하지 않습니다. 모서리 모양이 타원형이기 때문에 초기 모서리의 좌표를 타원 함수에 맞게 사용하여 모서리의 품질을 향상시킬 수 있습니다. 반복 프로세스를 사용하면 초기 가장자리에서 부정확한 픽셀의 영향을 최소화하기 위해 가장자리 픽셀의 두께를 업데이트할 수 있습니다. 다음 그림은 객체 모양의 초기 모서리를 추출하고 Nonlinear Curve Fit VI를 사용하여 초기 모서리를 객체의 실제 모양에 맞추는 VI의 프런트 패널을 보여줍니다.

 

그림 14. 비선형 곡선 맞춤 VI를 사용하여 타원형 모서리 맞추기

 

이전 그림의 그래프는 적합된 간선을 계산하기 위한 반복 결과를 보여줍니다. 여러 번 반복한 후 VI는 객체의 실제 모양에 가까운 가장자리를 추출합니다.

 

곡선 피팅을 사용하여 혼합 픽셀 분해

원격 감지 이미지에서 지상 물체를 감지하기 위한 측정 표준은 일반적으로 픽셀 단위입니다. 공간 해상도 제한으로 인해 하나의 픽셀이 수백 평방 미터를 커버하는 경우가 많습니다. 픽셀은 다양한 구성의 접지 개체를 포함하는 경우 혼합 픽셀입니다. 혼합 픽셀은 복잡하고 처리하기 어렵습니다. 혼합 픽셀을 처리하는 한 가지 방법은 물이나 식물과 같은 관심 대상의 정확한 백분율을 얻는 것입니다.

이 이미지는 실험 데이터를 위해 상하이의 한 지역을 보여줍니다.

그림 15. 거짓 색상 이미지

 

이미지 영역에는 물, 식물 및 토양의 세 가지 유형의 일반적인 지상 객체가 포함됩니다. 토양 물체에는 건물 및 교량과 같은 인공 건축물이 포함됩니다.

General Linear Fit VI를 사용하여 혼합 픽셀 분해 VI를 생성할 수 있습니다. 다음 그림은 General Linear Fit VI를 사용한 분해 결과를 보여줍니다.

   

   

(a) 식물 (b) 토양 및 인공 건축 (c) 물

그림 16. 일반 선형 맞춤 VI를 사용하여 혼합 픽셀 이미지 분해

 

이전 이미지에서 검은색 영역은 특정 관심 객체의 0%를 나타내고 흰색 영역은 특정 관심 객체의 100%를 나타냅니다. 예를 들어, 식물 객체를 나타내는 이미지에서 흰색 영역은 식물 객체의 존재를 나타냅니다. 물 물체를 나타내는 이미지에서 흰색의 물결 모양 영역은 강의 존재를 나타냅니다. 이전 그림의 물 표현을 그림 15와 비교할 수 있습니다.

결과에서 General Linear Fit VI가 Landsat 다중 스펙트럼 이미지를 3개의 지상 객체로 성공적으로 분해하는 것을 확인할 수 있습니다.

 

기하급수적으로 수정된 가우스 피팅

피팅하려는 모델에 LabVIEW에 포함되지 않은 함수가 포함되어 있는 경우가 있습니다. 예를 들어, 다음 방정식은 지수적으로 수정된 가우스 함수를 설명합니다.

어디

y0 는 y축으로부터의 오프셋입니다.

A는 데이터 세트의 진폭입니다.

xc 는 데이터 세트의 중심입니다.

w는 함수의 너비입니다.

t0 는 수정 계수입니다.

LabVIEW는 일반화된 적분을 직접 계산할 수 없기 때문에 LabVIEW의 곡선 피팅 VI는 이 함수에 직접 맞출 수 없습니다. 그러나, 앞의 방정식에서의 적분은 정규 확률 적분이며, 오차 함수는 다음 방정식에 따라 이를 나타낼 수 있다.

 는 LabVIEW의 에러 함수를 나타냅니다.

기하급수적으로 수정된 원래의 가우스 함수를 다음 방정식으로 다시 작성할 수 있습니다.

LabVIEW는 Nonlinear Curve Fit VI를 사용하여 이 방정식을 맞출 수 있습니다. 다음 그림은 크로마토그래피 데이터에 대해 기하급수적으로 수정된 가우스 모델을 보여줍니다.

그림 17. 기하급수적으로 수정된 가우스 모델

 

이 모델은 비선형 곡선 맞춤 VI와 오차 함수 VI를 사용하여 지수 적으로 수정 된 가우스 함수에 가장 적합한 데이터 세트에 대한 곡선 맞춤을 계산합니다.

적절한 VI를 사용하면 LabVIEW에서 함수를 사용할 수 없는 데이터 세트에 곡선을 맞추기 위해 새로운 VI를 생성할 수 있습니다.

 

곡선 피팅은 데이터 세트의 변수 간의 관계를 평가할 뿐만 아니라 노이즈, 불규칙성, 부정확한 테스트 및 측정 장치로 인한 오류 등이 포함된 데이터 세트를 처리합니다. LabVIEW는 피팅 곡선을 찾기 위해 LS, LAR, Bisquare 방법과 같은 다양한 피팅 방법을 사용하는 기본 및 고급 곡선 피팅 VI를 제공합니다. 사용하는 피팅 모델과 방법은 피팅하려는 데이터 세트에 따라 다릅니다. 또한 LabVIEW는 데이터 세트에서 이상값을 제거하고, 피팅 결과의 정확도를 평가하며, 피팅 데이터의 신뢰 구간 및 예측 구간을 측정하기 위한 전처리 및 평가 VI를 제공합니다.