나이퀴스트 이론 - 샘플링

나이퀴스트 샘플링 정리 또는 더 정확하게는 나이퀴스트-섀넌 정리는 혼합 신호 전자 시스템의 설계를 지배하는 기본적인 이론적 원리입니다.

 

현대 기술은 아날로그-디지털 변환 및 디지털-아날로그 변환 없이는 존재하지 않을 것입니다. 사실, 이러한 작업은 너무 보편화되어 아날로그 신호를 디지털로 변환하고 심각한 정보 손실 없이 다시 아날로그로 변환할 수 있다고 말하는 것이 자명하게 들립니다.

 

나이퀴스트-섀넌 정리(The Nyquist-Shannon Theorem)

이러한 주장은 현대 전기 공학의 가장 중요한 원칙 중 하나와 일치하기 때문에 가능합니다.

 

시스템이 신호의 최고 주파수를 최소 2배 초과하는 속도로 아날로그 신호를 균일하게 샘플링하면 샘플링을 통해 생성된 이산 값에서 원래 아날로그 신호를 완벽하게 복구할 수 있습니다.

 

 

시간 영역에서의 샘플링 이론

주파수 fsingal의 동축에 샘플링 정리를 적용하면 완벽한 재구성을 가능하게 하려면 fsample ≥ 2fsignal에서 파형을 샘플링해야 합니다. 이를 말하는 또 다른 방법은 동축 사이클 당 최소 두 개의 샘플이 필요하다는 것입니다. 먼저 시간 영역에서 생각하여 이 요구 사항을 이해해 보겠습니다.

다음 그림에서는 신호 주파수보다 훨씬 높은 주파수에서 정현파를 샘플링합니다.

각 원은 샘플링 순간, 즉 아날로그 전압이 측정되고 숫자로 변환되는 정확한 순간을 나타냅니다. 

이 샘플링 절차가 제공한 것을 더 잘 시각화하기 위해 샘플 값을 플로팅한 다음 직선으로 연결할 수 있습니다. 다음 플롯에 표시된 직선 근사는 원래 신호와 똑같이 보입니다: 샘플링 주파수는 신호 주파수에 비해 매우 높기 때문에 결과적으로 라인 세그먼트는 해당 곡선 정현파 세그먼트와 눈에 띄게 다르지 않습니다.

 

 

반응형

샘플링 주파수를 줄이면 직선 근사치의 모양이 원본과 다릅니다.

 

사이클당 20개 샘플(fsample = 20fsingal) 

사이클당 10개 샘플(fsample = 10fsingal)

 

반응형

사이클당 5개 샘플fsample = 5fsingal) 

 

fsample = 5fsingal에서 이산시간 파형은 더 이상 연속시간 파형을 정확하게 표현하지 않습니다. 그러나 이산시간 파형의 주파수를 여전히 명확하게 식별할 수 있습니다. 신호의 주기적 특성이 손실되지 않았습니다.

 

임계값: 사이클당 샘플 2개

샘플링에 의해 생성된 데이터 포인트는 사이클당 샘플 수를 5개 미만으로 줄임에도 불구하고 아날로그 신호의 주기적 특성을 계속 유지합니다. 그러나 결국 주파수 정보가 손상되는 지점에 도달합니다. 다음 플롯을 고려하십시오.

 

사이클당 2개 샘플(fsample = 2fsingal)

 

반응형

fsample = 2fsingal일 경우 사인파 모양이 완전히 사라졌습니다. 그럼에도 불구하고 샘플링된 데이터 포인트에 의해 생성된 삼각파는 정현파의 근본적인 순환적 특성을 변경하지 않았습니다. 삼각파의 주파수는 원래 신호의 주파수와 동일합니다.

그러나 샘플링 주파수를 사이클당 샘플이 2개 미만인 지점으로 줄이자마자 이 진술은 더 이상 이루어질 수 없습니다. 따라서 원래 파형에서 가장 높은 주파수에 대해 사이클당 2개의 샘플은 혼합 신호 시스템에서 매우 중요한 임계값이며 해당 샘플링 주파수를 나이퀴스트 속도라고 합니다.

 

 

나이퀴스트 속도보다 낮은 주파수에서 아날로그 신호를 샘플링하면 원래 신호를 완벽하게 재구성할 수 없습니다.  

 

 

다음 두 그림은 샘플링 빈도가 나이퀴스트 비율 아래로 떨어질 때 발생하는 순환적 동등성의 손실을 보여줍니다.

 

사이클당 2개 샘플(fsample = 2fsingal)

 

사이클당 1.9개 샘플(fsample = 1.9fsingal)

 

반응형

fsample = 1.9fsingal일 경우 이산 시간 파형은 근본적으로 새로운 순환 동작을 획득했습니다. 샘플링된 패턴의 완전한 반복에는 하나 이상의 정현파 주기가 필요합니다.

그러나 불충분한 샘플링 빈도의 영향은 사이클당 1.9개의 샘플이 있을 때 해석하기가 다소 어렵습니다. 다음 플롯은 상황을 더 명확하게 만듭니다.

 

사이클당 1.1개 샘플(fsample = 1.1fsingal)

 

정현파에 대해 전혀 모르고 1.1f에서 샘플링한 이산시간 파형을 사용하여 분석을 수행한 경우신호, 원래 신호의 주파수에 대해 심각하게 잘못된 생각을 형성하게 됩니다. 또한 이산 데이터만 있으면 주파수 특성이 손상되었음을 알 수 없습니다. 샘플링은 원래 신호에 없었던 새로운 주파수를 생성했지만 이 주파수가 존재하지 않았다는 것을 알 수 없습니다.

결론은 나이퀴스트 속도보다 낮은 주파수에서 샘플링하면 정보가 영구적으로 손실되고 원래 신호를 완벽하게 재구성할 수 없다는 것입니다.