하모닉스 - 고조파

 

주기적 신호는 정현파 파형에  항상 완벽한 정현파 패턴은 아닙니다. 때때로 신호는 실제로 단순한 사인파의 중첩일 수 있으며 복잡한 파형으로 알려져 있습니다.

복잡한 주기적 파형에 초점을 맞춰 파형의 구성과 분석 방법에 대해 알아봅시다. 

 

주파수와 진폭이 λ1=2λ0; A0=2A1을 만족하는 하모닉스 y0(t)와 y1(t)이라고 불리는 두 개의 정현파 파형의 중첩인 주기적인 신호 s(t)를 생각해 보십시오. 따라서 그들의 표현은 y0(t)=A0sin(λ0t)과 y1(t)=A1sin(λ1t)으로 나타납니다. 그림 1은 결과 신호 s(t)와 별개로 하모닉스 y0(t)와 y1(t)을 보여줍니다.

그림 1: 고조파와 함께 복잡한 파형의 표현

 

 

이 예에서는 y0(t)를 기본 고조파, y1(t)을 첫 번째 고조파라고 합니다. 기본 고조파는 더 낮은 주파수를 가진 신호이고 결과적인 신호 s(t)의 주기성을 제공합니다. 따라서 λ0=λS가 복소 파형의 "구축" 함수임을 알 수 있지만, 주파수는 무작위하지 않고 두 번째 고조파가 있는 경우 항상 λ0=λS, λ1=2λ0, λ2=3λ0 등을 만족합니다.

 

일반적인 경우, n번째 고조파의 주파수는 λn=(n+1)×λ0를 만족합니다. 특정한 복소 파형이 주어졌을 때, 한 가지 표현은 매우 적합하며 신호의 스펙트럼이라고 불립니다. 이 표현은 주파수의 함수로서 각 고조파의 진폭을 표시하는 것으로 구성되며 Python 또는 MatLab과 같은 수치 프로그램으로 계산할 수 있습니다:

그림 2 : s (t)의 주파수 스펙트럼

 

반응형

s(t)의 스펙트럼을 조사하면 기본 신호의 주파수 f0=15/2π=2.4Hz와 진폭 A0=1(예를 들어 V 또는 A)인 반면 첫 번째 고조파의 주파수는 2f0=4.8Hz와 진폭 A1=0.5임을 알 수 있습니다.

 

스펙트럼 분석

그림 2와 같은 스펙트럼을 플로팅하는 것은 푸리에 급수로 알려진 수학적 도구를 기반으로 합니다. 이 방법은 19세기 초 프랑스 과학자 조제프 푸리에(Joseph Fourier)에 의해 개발되었으며 오늘날에도 여전히 신호 분석의 주요 도구 중 하나입니다.

이 방법은 모든 주기 신호 y(t)가 실제로 진폭과 위상을 계산할 수 있는 고조파의 무한 합(시리즈)이라는 관찰을 기반으로 합니다. 동일한 관찰을 수학 방정식으로 쓸 수 있습니다.

eq 1: 주기적 신호를 푸리에 급수로 분해

 

복소수 지수 항은 단순히 고조파를 작성하는 복잡한 형태입니다. 정수 n은 n을 나타냅니다.일 고조파 및 T는 y(t)의 주기성입니다.

계수 cn(y)는 함수 y(t)의 푸리에 계수라고 하며 다음 관계에 의해 결정됩니다.

eq 2: 푸리에 계수

 

계수 cn을 두 개의 계수 a와 bn으로 나누는 것이 일반적이며, 실제 함수의 경우 다음과 같이 제공됩니다

eq 3: 실수 함수에 대한 단순화된 푸리에 계수

 

임의의 주기적 신호의 푸리에 분해를 결정하기 위한 이 방법은 도 2에 제시된 것과 같은 스펙트럼을 부여하기 위해 비주기적 신호에 대한 동일한 방법의 확장인 푸리에 변환(FT)으로도 알려져 있다.

주기적 신호의 FT로 진행하기 위해서는 두 가지 경우를 별도로 고려해야 하며 다음 하위 섹션에서 설명합니다.

 

알려진 신호

첫 번째 경우는 분해할 신호에 알려진 분석 표현식이 있는 경우입니다. 주기성이 T인 정사각형 신호 sq(t)를 예로 들어 보겠습니다. 그 표현은 다음 정의를 통해 알려져 있습니다.

그림 3은 몇 주기에 걸친 주기 T=2π의 제곱 신호를 나타냅니다.

반응형

그림 3: 사각 신호의 그림

 

우선, a0라는 용어의 표현을 결정합니다:

 

 

이 계수는 신호의 평균값을 나타냅니다: y(t). 시간의 절반에 대해서는 실제로 1이고 그렇지 않으면 0입니다.

sin(0)=0이므로 b0이라는 항은 0입니다.n>0에 대한 식을 전개할 때, 이 계수들은 0과 π 사이에서 평가된 sin(nx)에 비례하며, 이는 항상 0과 같으므로 (an)n>0=0입니다.

마지막으로 n>0에 대한 계수 bn에 대한 일반적인 식을 결정합니다:

0과 π 사이에서 계산될 때 n이 홀수이면 cos(nx)라는 항은 -2이고 n이 짝수이면 0과 같습니다. (bn)n>0 따라서 다음과 같이 주어집니다.

 

반응형

각 계수 bn 고조파 Sin(NT)의 진폭에 해당합니다. 의 표현에서 a0 그리고 bn따라서 제곱 신호 sq(t)의 전체 푸리에 전개를 제공할 수 있습니다.

식 4: 주기 2π의 제곱 신호의 푸리에 전개

 

방정식 4에서 다음 그림 4와 같이 sq(t) 스펙트럼의 일부를 그릴 수 있습니다.

그림 4 : 사각형 신호 sq (t)의 스펙트럼

 

이 신호의 경우 홀수 고조파만 존재하며 진폭은 2/nπ로, 주파수는 n/2π로 주어집니다. 평균값은 0Hz의 주파수에 대한 스펙트럼에도 존재합니다. 정사각형 신호는 무한한 수의 고조파를 나타내기 때문에 스펙트럼은 물론 특정 주파수까지만 표시됩니다.

 

예를 들어, 함수 발생기를 사용하여 사각 신호를 생성할 때 파형을 구축하기 위해 유한한 수의 고조파만 사용됩니다. 예를 들어 고조파 1, 2, 3, 4 및 5를 사용하는 경우 <>차까지 고조파를 사용하여 신호가 생성된다고 말하면 순서는 모양에 대한 정확도의 정도를 제공합니다.

그림 5 : 고조파 분해를 사용한 정사각형 신호의 두 근사치 그림

 

반응형

근사 순서가 증가하면 불연속 점프 (신호가 0에서 1 또는 1에서 0으로 잔인하게 번갈아 가는) 주위에 오버 슈트가 나타나는 것을 정확히 지적 할 수 있습니다. 이것은 깁스 현상으로 알려져 있으며 불연속 점프가 존재하는 모든 신호에 나타납니다.

 

알 수 없는 신호

그림 1에서 s(t)의 주기성을 T=0.42s로 측정할 수 있습니다.

제1 계수 c0(y)는 결정하기 쉽고 우리의 예에서 0과 같은데, 그 이유는 가로축을 중심으로 대칭인 주기적 신호의 주기에 걸친 적분은 항상 0과 같기 때문입니다. 실제로 이 첫 번째 계수는 항상 DC 수량과 관련이 있으므로 우리의 경우에는 존재하지 않는 평균값과 관련이 있습니다.

 

함수 s(t)의 식을 알고 있는 경우 계수 cn 이전 하위 섹션에 표시된 것과 같이 분석적으로 계산할 수 있습니다. 그러나, 알 수 없는 함수 s(t)에 대하여, 계수 an(y)와 bn(y) n>0은 함수 s(t)cos(2πnt/T) 및 s(t)sin(2πnt/T)의 곡선 아래에서 -T/0와 T/2(또는 2과 T) 사이의 면적을 계산하여 수치적으로 결정됩니다.

 

이것은 많은 방법으로 수행 할 수 있으며, 구현하고 이해하기 가장 쉬운 방법 중 하나는 함수 s(t) sin(6πt/T)에 대해 그림 2에 표현 된 사각형 방법입니다.

그림 6 : 사각형 방법의 그림

 

그림 5에서 볼 수 있듯이 이 방법은 너비 dt와 높이 y(n×dt)의 작은 직사각형의 면적을 합산하여 곡선의 적분을 근사화하는 것으로 구성되며 n은 직사각형의 인덱스로 간주됩니다.

신호 y(t)의 주기 T는 N×dt=T와 같이 N개의 직사각형으로 세분됩니다. dt가 충분히 작을 때 직사각형 면적의 합은 일정 기간 동안 y(t)의 적분과 거의 같습니다.

곡선을 더 정확하게 따르기 위해 직사각형이 아닌 다른 모양을 선택하는 것과 같이 정확한 결과로 더 잘 수렴하기 위해 더 정확한 방법이 존재한다는 점을 언급할 가치가 있습니다.

 

고조파는 주기적 신호를 형성하는 기본 사인 파형입니다. 일부 복잡한 파형은 유한한 수의 고조파를 가질 수 있고 다른 파형은 튜토리얼의 뒷부분에 제시된 사각 신호와 같이 무한한 수를 가질 수 있습니다.

 

고조파의 주파수는 항상 복소수 신호의 기본 주파수의 정수 배수입니다. 진폭은 일반적으로 고주파로 갈수록 감소하며 푸리에 분해에 의해 결정될 수 있습니다.

스펙트럼 표현은 신호의 고조파를 강조 표시하는 가장 편리한 방법이며 두 번째 섹션에 제시된 푸리에 분해 덕분에 계산됩니다. 분해는 복소 파형의 표현을 알고 있는 경우 분석적일 수 있고, 신호를 알 수 없는 경우 수치적일 수 있습니다.